И вообще кто прав? АБХ имело право так поступать?

Мало информации, а главное документов, что бы определить правую сторону. АБХ однозначно не должно требовать наличия АТ, если она полноправная гражданка Латвии. Вот общая позиция для всего ЕС

Статья 8
Административные формальности в отношении граждан Союза
1. Без ущерба параграфу 5 статьи 5 в целях проживания свыше трех месяцев принимающее государство-член может возлагать на граждан Союза обязанность зарегистрироваться в компетентных органах.
2. Срок, в течение которого необходимо зарегистрироваться, не может быть менее трех месяцев со дня въезда. Справка о регистрации выдается немедленно с указанием имени и адреса зарегистрированного лица, а также даты регистрации. Несоблюдение обязанности зарегистрироваться может сопровождаться недискриминационными и соразмерными санкциями.
3. Для выдачи справки о регистрации государства-члены могут требовать представления только следующих материалов:
– от гражданина Союза, к которому применяется пункт «а» параграфа 1 статьи 7: действительные удостоверение личности или паспорт, обязательство по приему на работу, выданное работодателем, справка с места работы или доказательство, подтверждающего факт занятия ненаемным трудом;
– от гражданина Союза, к которому применяется пункт «b» параграфа 1 статьи 7: действительные удостоверение личности или паспорт и доказательство своего соответствия условиям, предусмотренным этим положением;
– от гражданина Союза, к которому применяется пункт «с» параграфа 1 статьи 7: действительные удостоверение личности или паспорт, доказательство своего зачисления в аккредитованное учреждение, подписка на полную медицинскую страховку, заявление или любое иное эквивалентное подтверждение, предусмотренные в пункте «с» параграфа 1 статьи 7. Государства-члены не могут требовать указания в этом заявлении точного размера средств.
4. Государства-члены не могут фиксировать размер средств, признаваемых ими в качестве достаточных, а обязаны учитывать личную ситуацию заинтересованного лица. В любом случае данный размер не должен превышать уровня, ниже которого граждане принимающего государства имеют право на получение социальной помощи, либо – когда этот критерий не может быть применен – не должен превышать величины минимальной пенсии по социальному обеспечению, выплачиваемой принимающим государством-членом.