а как это доказывать надо?

Не все граждане ЕС автоматически freizügigkeitsberechtigt в Германии. Кто именно таковыми является, написано в FreizügG/EU §2 Abs.2 .

Для тех, кому тексты законов даются тяжело, BMI на своей странице публикует упрощенный вариант:

• Arbeitnehmer sowie Unionsbürger, die sich – für eine gewisse Zeit - zur Arbeitssuche oder zur Berufsausbildung aufhalten wollen,
• Selbstständige sowie Erbringer von Dienstleistungen,
• nicht erwerbstätige Unionsbürger, sofern sie über ausreichende Existenzmittel und Krankenversicherungsschutz verfügen,
• Unionsbürger, die nach fünf Jahren rechtmäßigem Aufenthalt ein Daueraufenthaltsrecht erworben haben,
• sowie die Familienangehörigen dieser Unionsbürger, wenn sie den Unionsbürger begleiten oder ihm nachziehen.

В случае с ребенком надо напирать на написанное в FreizügG/EU §4 (выше в тексте от BMI примерно соответствующий этому параграфу пункт выделен жирным шрифтом), поскольку всё остальное в данном случае не работает, но тогда в семье должны быть деньги и страховка.