Наверное не дадут. А вы думаете не спросят про то есть ли у ребёнка уже паспорт другой страны? И если уже есть, то скорее всего ребенок должен отказаться от гражданства. А в посольстве страны в этом случае Узбекистана, скажут: «Как ребёнку 18 лет исполнится, вот пусть и сам решает отказывается ему или нет, перед этим отслужив в армии. А то сначала приходите просите выдать ему паспорт, а теперь пришли отказываться от его гражданства, что вам здесь проходной двор что ли.»

Немецкие документы.. ну к примеру Persönlicheidentifikationsnummer

чем не документ? Очень даже документ. Хотя может его и так пришлют.

Как только ребёнок будет зарегистрирован в посольстве Узбекистана, то скорее всего немецкое гражданство он теряет автоматически. Теоретически в будущем ему можно будет его затребовать и получить.

Или вы думаете закон о невозможности двойного гражданства в Германии в этом случае на ребёнка не распространяется?

Тем более его родители оба граждане Узбекистана.

Желание родителей ещё какое имеет значение. К примеру, была бы это семейная пара из Индии, проездом в Калькуту через Франкфурт у них родился ребёнок в Германии, они бы пошли в посольство Индии, и там реганулись, что их теперь трое, получив при этом паспорт ребёнка. Соответственно было два индуса а стало три. - Три иностранца, как в сказке