Где вы во Freizügigkeitsgesetz нашли про "братьев, сестер и других близких родственников"?

Вот тут( PDF auf DE)

(2) Unbeschadet eines etwaigen persönlichen Rechts auf Freizügigkeit und Aufenthalt derBetroffenen erleichtert der Aufnahmemitgliedstaat nach Maßgabe seiner innerstaatlichen Rechts-vorschriften die Einreise und den Aufenthalt der folgenden Personen:
a) jedes nicht unter die Definition in Artikel 2 Nummer 2 fallenden Familienangehörigen unge-achtet seiner Staatsangehörigkeit, dem der primär aufenthaltsberechtigte Unionsbürger imHerkunftsland Unterhalt gewährt oder der mit ihm im Herkunftsland in häuslicher Gemein-schaft gelebt hat, oder wenn schwerwiegende gesundheitliche Gründe die persönliche Pflegedes Familienangehörigen durch den Unionsbürger zwingend erforderlich machen;

О каком ВНЖ вы пишите? Карточка АК это не ВНЖ

Дадут Aufenthaltskarte für Familienangehörige von Unionsbürger, который даст разрешение на проживание втечение 5 лет. ВНЖ это для немцев или нет, я не знаю, так что спорить не буду