Вы им по электронке что ли пишете? Ничего не видел бесполезнее, чем жалобы по электронной почте. Это даже еще бесполезнее, чем устные обсуждения с чиновниками.

Писать надо на бумаге, отправлять per Einschreiben. Но я, честно говоря, смысла никакого в этом не вижу - все сроки давно пройдены, если хотите с ними бороться, надо официальную жалобу подавать. Только Вы учтите, что вряд ли это все процесс ускорит, жалобы как правило нужны для устранения "несправедливости", а не для ускорения процесса. Иногда угроза официальной жалобы помогает ускорить процесс, но это ИМХО явно не Ваш случай.

Я вообще сомневаюсь, что это косяк именно Вашего АБХ. Чего им там обрабатывать, ВНЖ von Amts wegen выдается - то есть, им никаких решений принимать не надо, просто отправить запрос на изготовление карточки. Наверняка, опять с Bundesdrückerei какие-то сложности. Этот eAT - это вообще один сплошной фейл.

Если Вам действительно куда-то ехать надо, то лучше озаботьтесь получением вклейки в паспорт. В Берлине их выдают в любом бюргерамте новорожденным, в других городах обычно в АБХ, но все равно процесс не меняется - пришел, показал СОР, ВНЖ свой и матери и получил вклейку ребенку.