когда в самом ускоренном варианте мой знакомый может подать на гражданство Германии

Податься на гражданство можно, в принципе, в любой момент.

1. с ноября 2013 по июнь 2014 он был тут как au-pair (если я правильно пониманию, этот срок не засчитывает за срок пребывания в Германии)

Засчитывается.

2, с сентября 2014 по март 2015 он находился здесь по Fiktionsbescheinigung- в недрах этого форума нашла, что время, проведенное на FB засчитывается в общий срок пребывания, то есть 6 месяцев пребывания

Верно, засчитывается полностью.

3, в марте 2015 он получил 2-х летний AE Studienvorbereitung до марта 2017. На нем он пробыл 1 год и 11 месяцев(срок делится пополам, выходит 11,5 месяцев чистыми)

Срок не делится пополам, а тоже засчитывается полностью.

4. в феврале 2017 он женился на гражданке Германии и в браке находится по сей день
5, в июле 2018 на свет появится их ребенок
Может ли он в этом случае подать на гражданство через 2 года брака?

Да, может, если у него уже два года будет соответствующий ВНЖ по §28 AufenthG.

Если в июле родится ребенок, может ли это ускорить сроки?

Нет.

Может ли он подать на гражданство сразу после рождения ребенка, то есть через 1,5 года пребывания в браке и 3 года пребывания на территории Германии?

Может, но в таком случае, скорее всего, рассмотрение его заявления откладут до тех пор, пока не исполнится полных два года брака.

в FAQ форума нашла, что рождение ребенка является вроде как особым условием, так ли это?

Не в этом случае.