Терн, firestream прав:

родственник гражданина ЕС получает "автоматически" право на проживание в ЕС по родственной связи с гражданином ЕС, если выполняются необходимые условия. Чиновники в АБХ не выдают разрешение на проживание, они просто проверяют, выполняются ли эти условия, и выдают соответствующее удостоверение в виде АК.

Покажите чиновнику еще Allgemeine Verwaltungsvorschrift zum Freizügigkeitsgesetz/EU:

5.1.1 Die drittstaatsangehörigen Familienangehörigen eines Unionsbürgers erhalten von Amts wegen eine Aufenthaltskarte auf einem bundeseinheitlich vorgegebenen Vordruck (§ 58 Satz 1 Nummer 13 i. V. m. Anlage D15 zur AufenthV). Die Aufenthaltskarte ist deklaratorisch, d.h. das Freizügigkeitsrecht entsteht originär durch das Unionsrecht und nicht durch die Ausstellung einer Aufenthaltskarte. Sie dient dem Nachweis des Aufenthaltsrechts und ermöglicht eine visumfreie Einreise in die Mitgliedstaaten (vgl. Nummer 2.4.3).

То есть при большом желании можно жить и без AK, главное, чтобы за гражданином ЕС сохранялся статус freizügigkeitsberechtigt.

этот список опять относится к другому закону...

а где правильный?

Правильный можете посмотреть, например, здесь:

Erforderliche Unterlagen

• Gültiger Pass
• 1 aktuelles biometrisches Foto 35mm x 45mm, Frontalaufnahme mit neutralem Gesichtsausdruck und geschlossenem Mund gerade in die Kamera blickend, heller Hintergrund
• Formular "Angaben zur Ausstellung einer Aufenthaltskarte" (ausgefüllt) - можно скачать отсюда.
• Nachweis der Verwandtschaft mit dem EU-/EWR-Bürger z.B. Geburtsurkunde, Eheurkunde, eingetragene gleichgeschlechtliche Lebenspartnerschaft
• Meldebestätigung des EU-/EWR-Bürgers
• Nachweise zum Freizügigkeitsrecht des EU-/EWR-Bürgers Im Einzelfall können Nachweise über das Freizügigkeitsrecht des EU-/EWR-Bürgers verlangt werden. Bitte bringen Sie deshalb folgende Unterlagen mit:
  
  
  • bei Arbeitnehmern: Bestätigung des Arbeitgebers über die Einstellung oder Beschäftigung
  • bei Selbstständigen: Gewerbeanmeldung, Steuernummer, aktuellen Steuerbescheid
  • bei Nicht-Erwerbstätigen: Nachweise über Krankenversicherung und Existenzmittel
• Nachweis über den Hauptwohnsitz in Berlin
  • Bescheinigung über die Anmeldung der Wohnung (Meldebestätigung) oder
  • Mietvertrag und Einzugsbestätigung des Vermieters