Wird hiermit bescheinigt, dass die NE nicht nach 51 absatz 4 aufenthaltsgrsetz erlischt.
Diese bescheiningung ist gutlig bis zum 31.xx.xx
Надеюсь все тут правильно?

Корявенькая формулировка, однако. NE теряет силу не на основании "51 absatz 4 aufenthaltsgrsetz", а на основании "51 absatz 1 nr. 6 und 7 aufenthaltsgrsetz". "51 absatz 4 aufenthaltsgrsetz" же - это законное основание, которое даёт АВН право продлить стандартный шестимесячный срок отсутствия, установленный в "51 absatz 1 nr. 7 aufenthaltsgrsetz". Поэтому корректный текст должен был бы быть таков:

Wird hiermit bescheinigt, dass die NE nicht nach 51 absatz 1 nr. 7 aufenthaltsgrsetz erlischt.
Diese bescheiningung ist nach 51 absatz 4 satz 1 aufenthaltsgrsetz bis zum 31.xx.xx gutlig.

Касетельно ГК , получил fiktionbesheinigung, оплатил стоимость ГК, но женщина категорически отказала брать отпечатки пальцев, по прежнему ссылаясь что такое невозможно. Сказала ждать решения, черт знает кого и черт знает как долго. Когда мне можно и нужно их теребить?

Я уже выше объяснял, что теребить через суд можете через три месяца после подачи заявления на продление ВС. Теребить же АВН напрямую можете хоть каждый день.