Вопрос важный, потому что у меня в рабочем контракте написано, что я могу приступить к работе только при наличии рабочей визы и Aufenthaltserlaubnis.

Пару буквов вы не дописали. Это от волнения. Не "и", а "или". И/или то и/или другое дает вам право на осуществление трудовой деятельности в Германии. Виза не вечна, она проживет лишь до окончания ее срока действия. И чё будете делать? Кричать "- Караул! Виза кончилась, осталась только АЕ (это то, что вы обозвали АЭЭ). Вопрос критически важный!!!"?

Поэтому вопрос критически важный.

Не-а. Не критически и не важный. Не забивайте себе голову пустяками.

Так и не поняла по-шагово, что мне делать...простите. Объясните еще раз шаг за шагом - некий тайминг.

Первым делом согласовать термин в АВН. Мыло туда можно отправить и из дому. Пока доедете до Германии, как раз и термин подоспеет. Бланк Антрага на АЕ лучше загодя скачать на сайте Орднунгсамта или взять в АВН бумажный ещо до термина и неспеша изучить его заранее, чтобы не убивать потом кучу времени своего и чужого, разбираясь на ходу где какой крестик поставить. После визита в АВН ждать готовности карточки еАТ. Всё.

Что такое КК?)

Это не то, что вы подумали, а Кранкенкасса.