В моем учебном ВНЖ стоит, что он выдан только для обучения в определенном вузе, на определнном факультете. И как только я его сменю , то ВНЖ недействителен. Это как бы по закону.
Однако, у меня есть знакомая, которая училась на одном факультете, ВНЖ под него на 2 года, через семестр она учится там не смогла. Весь летний семестр она просидела на попе ровно, а в зимний семестр поступила в этот же ВУЗ но на другой фак. ВНЖ остался тот же и она никому ниче не сообщила. Когда через 2 года она пошла менять ВНЖ, поменяли без проблем вроде как. Хотя по закону она обязана была уведомить ABH заранее и они бы решали дать ей другой ВНЖ или нет.

И еще. Есть такая виза под ожидание учебы. Т.е. вы сдали все экзамены и все документы подготовили в октябре, сдали их и должны скоро получить подтверждение (Zulassung), а учеба начинается в апреле. Вы приходите в АВН и говорите так и так, я жду подтверждения со дня на день, не выезжать же мне из страны, я ищу жилье, работу , войдите в положение. Моей подруге так визу дали на полгода. Правда она уже в тот момент находилась в Германии и отсюда же сдавала тест на знание немецкого (в феврале) и ждала результатов от него сначала, а уже потом и допуск к учебе, который присылается только летом.

Я думаю, стоит приехать в Германию и как бы начать учиться. При этом визу не продлевать. А в ноябре, как только вы получите Zulassung идти в ABH и сказать, что не сложилось у вас с "медициной" и вы хотите быть "математиком". В самом универе все равно не следят ходите вы на занятия или нет.