BK, оказывается, бывают двух видов - BK (befristet) и BK (unbefristet, она же Niederlassungserlaubnis).Последняя выдаётся на основании § 19a Abs. 6, и одновременно как бы является и BK, и NE. Это так, потому, что название § 19a "Blaue Karte EU", а значит и все виды выданные по пунктам этого параграфа - BK.

Ух ты, интересно. Спросите у них, считают ли они также АЕ §28 Abs. 1 и NE §28 Abs. 2 одинаковыми ВНЖ, ведь они тоже выдаются на основании одного и того же параграфа.

Изложить свой ход мыслей в письменном виде они не хотят, а собираются сделать так, как им кажется правильным, и, если меня это не устроит, предлагают обращаться сразу в суд.

В любом случае нужно подать письменное заявление, в котором еще раз описать свое желание. После отказа в удовлетворен заявления в желаемое виде, который, судя по всему, последует, придется обращаться в суд и параллельно можно будет обратиться в Fachaufsichtsbehörde.

они мне сообщили, что Widerspruchsverfahren в области Ausländerrecht недавно упразднили, так что свои возражения я должен оставить при себе

Насчет Widerspruchsverfahren они правы, но это никаким образом не повлияло на возможность подачи Fachaufsichtsbeschwerde.

Что теперь делать не очень понятно

См. выше - подавать заявление в письменном виде.

я не уверен, кто у нас этим занимается

Bezirksregierung Köln, Dezernat 21

Только не звонить, а писать, приложив копию окончательного письменного решения АВН по Вашему заявлению.