Wohnungsgeberbescheinigung это же Vermiterbescheinigung

Wohnungsgeberbescheinigung - это Wohnungsgeberbescheinigung, если перевести предельно близко к оригиналу - это справка от предоставляющего жильё, от берущего к себе пожить. Ее фунцкию может выполнять и Vermiterbescheinigung, если, например, митер вьезжает в "пустую" квартиру, квартиру, которую ему предоставляет фермитер. Если же в квартире уже живёт/ут митер/ы и он берет к себе кого-то пожить, то Wohnungsgeber в данном случае сам этот митер.

Vermiter не надо спрашивать, если кого-то хочешь к себе прописать или пустить пожить на длительный срок?

Прописать - не требуется. Пустить пожить на длительный срок - иногда требуется, иногда нет, а именно: Если они (митеры) берут пожить чужого им человека, требуется разрешение фермитера, если они берут к себе пожить родственника, то разрешение фермитера не требуется, а только поставить его в известность, т.к. запретить фермитер не имеет права в данном случае.

И с каких пор Vermiter не надо спрашивать, если кого-то хочешь к себе прописать

Не знаю, с каких пор, думаю, с тех пор, когда ввели прописку по Wohnungsgeberbescheinigung..