И почему поломку должен оплачивать квартиросдатчик?

Потому что он получает каждый месяц денежку и обязан содержать объект в рабочем состоянии.

Если в квартире что-то ломается, потому что износилось, тоже никто счёт не выставляет. У меня меняли старый прогнивший сифон, деревянные окна на пластиковые (не у всех в плане модернизации, а именно у меня после нескольких лет просьб), никто ничего не требовал.

Вот что пишут в интернете:

Bei Mietshäusern ist grundsätzlich der Vermieter dafür zuständig, dass ein vertragsgemäßer Gebrauch der Wohnung möglich ist. Im Fall von Bürogebäuden ist es der Arbeitgeber. Bricht ein Schlüssel aufgrund von Materialschwäche ab, muss der Vermieter beziehungsweise der Arbeitgeber die dadurch entstandenen Kosten tragen, und nicht du beziehungsweise deine Hausrat­versicherung. Auch wenn das Schloss defekt ist, ist der Besitzer des Gebäudes in der Verantwortung.

Ein Mieter muss einen abgebrochenen Schlüssel der Mietwohnung (Wohnungseingangstür, Haustür oder Briefkasten) nur dann ersetzen, wenn er den Schlüssel schuldhaft abgebrochen hat. Bricht der Schlüssel wegen Materialermüdung ab, so muss der Vermieter die Kosten für den Schlüssel- und Schloßersatz tragen (AG Halle-Saalkreis, Urteil vom 17.03.2010, Az.: 93 C 4044/08).

Für einen kaputten Schlüssel muss in der Regel der Vermieter aufkommen. Bricht dem Mieter zum Beispiel der Briefkastenschlüssel ab, muss grundsätzlich der Vermieter zahlen. Will der Vermieter die Kosten dem Mieter aufbrummen, dann muss er diesem die Schuld nachweisen. Das geht aus einem Urteil des Amtsgerichts Halle/Saale hervor (Az.: 93 C 4044/08).

Der Vermieter hat dafür Sorge zu tragen, dass sich eine Immobilie in einem vertragsgemäß zum Gebrauch geeigneten Zustand befindet. Dazu gehören auch die Schlösser der Hauseingangstüren.Bricht also ein Schlüssel aufgrund von Materialschwäche ab oder ist ein Schloss verzogen, sodass sich der Schlüssel verkantet und bricht, übernimmt der Vermieter die Kosten.Kann dem Mieter der unsachgemäße Gebrauch des Schlüssels nachgewiesen werden, etwa durch unverhältnismäßige Gewalt oder Mutwilligkeit, so kommt dieser für die Kosten auf.

Параграфы из закона Bürgerliches Gesetzbuch (BGB):

§ 535 Inhalt und Hauptpflichten des Mietvertrags

(1) Durch den Mietvertrag wird der Vermieter verpflichtet, dem Mieter den Gebrauch der Mietsache während der Mietzeit zu gewähren. Der Vermieter hat die Mietsache dem Mieter in einem zum vertragsgemäßen Gebrauch geeigneten Zustand zu überlassen und sie während der Mietzeit in diesem Zustand zu erhalten. Er hat die auf der Mietsache ruhenden Lasten zu tragen.

§ 538 Abnutzung der Mietsache durch vertragsgemäßen Gebrauch

Veränderungen oder Verschlechterungen der Mietsache, die durch den vertragsgemäßen Gebrauch herbeigeführt werden, hat der Mieter nicht zu vertreten.