я извеняюсь, выходит что наш двор это его двор, а мой где тогда...?

Вооот, правильный вопрос. И когда решится этот вопрос, тогда и разрешится ситуация. А решать его будут фермитеры. Хорошо что они разные, потому что теперь фермитеру не нужно будет соблюдать нейтралитет - он будет полностью на Вашей стороне (будем конечно надеятся)

Теперь они пускай разбираются кто платил за эту лужайку, кому она пренадлежит, и как ей могут пользоваться все жильцы Вашего дома.

Самый оптимальный вариант - разделить, если двор относится только двум квартирам. Потому что даже если запретять собаке там бегать можт случится беда - будет открыта дверь на балконе, пёс всё равно выбежит и побежит играться. А то и цапнет детишек.

Если же двор пренадлежит всем айгентюмерам квартир в Вашем доме то будет проблематичнее его делить. Тогда это общая Вонанлаге. Будут составлять Хаусорднунг. Ну либо через суд, если уж сосед совсем упрётся....

ПС: как точно я подметил что ему Ваши дети мешали, поэтому он не идёт на сближение. Обычно собачники коммунекабельны, так как знают какие могут быть последствия для животного.