насколько мне известно, krankenversicherung и elterngeld друг с другом не связаны, но я могу ошибаться
а про страховку вот что нашла:
Wenn ein Pole, Ungar, Grieche oder der Bürger eines anderen EU-Mitgliedslandes länger in Deutschland bleiben möchte, sollte er den Leistungsanspruch deshalb erweitern. Dazu müssen sich Ausländer aus EU-Staaten ein spezielles Formular, das Europäische Dokument S1, von ihrer Krankenversicherung ausstellen lassen. Das mobile Dokument S1 <...> dient dazu, mit der Europäischen Krankenversicherungskarte aus dem Ausland die Gesundheitsleistungen zu erhalten, die in Deutschland üblich sind.
So erhalten Ausländer ohne Arbeit eine Krankenversicherung in Deutschland
In einigen Fällen können Ausländer aus EU-Staaten aber richtiges Mitglied einer deutschen Krankenkasse werden, selbst wenn sie keine Arbeit haben. Sie müssen dafür nach den in Deutschland gültigen Regeln Anspruch auf eine gesetzliche Krankenkasse haben. Das ist zum Beispiel bei EU-Ausländern auf Arbeitssuche in Deutschland der Fall, wenn sie sich arbeitslos gemeldet haben. Seit Mai 2011 können sich auch Menschen aus acht neuen EU-Mitgliedsländern in Deutschland arbeitslos melden. Zu diesen Ländern zählen Estland, Lettland, Litauen, Polen, Slowakei, Slowenien, Tschechische Republik und Ungarn. (источник)
лучше всего бы отцу ребенка связаться со своей КК и уточнить у них