И часть денег будет потрачена на дорогу, оформление документов – нужно ли как то эти траты фиксировать (чеки собирать, например), чтобы потом показать, что сумма уже не вся осталась?

Обязательно собирайте все квитанции, чеки и билеты - при переезде наберется весьма значительная сумма. Естественно, это будет учитываться при назначении социальной помощи, если будете нуждаться.

Есть еще одно обстоятельство: у нас есть недвижимость которую придется продать.

Если недвижимость отягощенная, например, в собственниках - ребенок, в органе опеки (в России по крайней мерe) не дают разрешения на продажу. Такой запрет может быть принят во внимание социальными органами и облегчить получение социальной помощи на разных условиях. Если в квартире остается жить Ваша мама и у нее нет иного жилья и материальной возможности жилье снимать - это обстоятельство тоже может быть учтено при назначении социальной помощи. На этот счет есть соответствующие статьи в книгах социальных законов и решения социальных судов.

Отличается ли алгоритм действий тех кто едет с деньгами от тех у кого деньги только в пределах разрешенной суммы?

Конечно, последние сразу подают заявление на социальную помощь и получают ее. А Вам, пока не найдете работу, будет очень трудно найти квартиру без постоянного дохода, если даже есть деньги на счету.

Или лучше ходить по очереди – сначала отучился я, потом отучилась жена?

Мы с мужем ходили на курсы по очереди, пока не определились с детьми.

хочу окончить языковые курсы и искать работу, сначала неквалифицированную, а потом когда подтвержу диплом и стану получше говорить попробую найти работу по специальности.

Попробуйте поискать работу уже из дома, если с языком проблемы, хотя бы в русскоязычных фирмах. Таких немало. Если даже не найдете - получите опыт.