> совершеннолетний сын ( ученик) без доходов

А ученик чего и насколько "совершеннолетний"? Он в данный момент учится или уже заканчиват?

> К сожалению совместная жизнь с сыном стала невыносимой и мы хотели снять и соответственно оплачивать ему квартиру

Может всё-таки лучше к семейному психологу?

> но он не хочет съезжать

Ну если всё так плохо, то идём в Familiengericht, получаем "добро" и пинком под пятую точку отправляем его на вольные хлеба. ;)

> но я не представляю как это всё будет выглядеть.

Очень хорошо будет выглядеть - сыночка будет жить в 3-комнатной хате, которую ему родители оплачивают. Но вот беда - обеды самому придётся готовить, да и стирать... или мама каждый день приходить будет?

> сможет ли сын остаться в старой квартире

Ну тут зависит от того входит ли он в договор по квартире или нет, если не входит и вы выселяетесь полносьют, т.е с пропиской и т.д, то сыночке придётся тоже уехать. Если же прописан, то может оставаться жить.

> если мы будем дальше её оплачивать?

Тогда одному и родителей придётся остаться вписанным, т.к по договору вы "обязаны" проживать на территории.

> И обязательно ли сообщать в Wohnungsgenossenschaft

Ну как бы да.

> Мы бы очень хотели оставить за нами старую квартиру , надеемся, что позже сможем туда вернуться. А с сыном решить только по-хорошему.

Т.е варинат от Раскольникова вам всё-таки не подходит?

> Shufa- Auskunft достаточно бесплатно заказать или платный вариант?

Достаточно бесплатного, придёт письмом через 1-3 недели.