C чего бы это вдруг? § 566 только гарантирует жильцу, что новый хозяин квартиры - не поднимет ему (жильцу) арендную плату, из за чего жить в этой квартире станет для жильца экономически невыгодно - и он сам съедет оттуда...

Эта статья - исключительно об арендной плате, о чем можно понять даже из текста.

Кто вас учил немецкому? Твердая двойка.

Если бы речь шла о договоре аренды, написали бы так: beendet den Mietvertrag nicht

§ 566 Kauf bricht nicht Miete
(1) Wird der vermietete Wohnraum nach der Überlassung an den Mieter von dem Vermieter an einen Dritten veräußert, so tritt der Erwerber anstelle des Vermieters in die sich während der Dauer seines Eigentums aus dem Mietverhältnis ergebenden Rechte und Pflichten ein.

Подпункт 1 говорит о том, что новый хозяин берет на себя обязательства старого хозяина - но только в отношении арендной платы (что подтверждается названием статьи)

(1) Если арендуемая жилая площадь продается арендодателем третьему лицу после того, как она была предоставлена арендатору, покупатель вместо арендодателя принимает на себя права и обязанности, вытекающие из договора аренды на время его собственности.

А вот и пункт 2, в котором говорится что если новый хозяин не соблюдает эти условия, старый хозяин выступает как поручитель.

(2) Erfüllt der Erwerber die Pflichten nicht, so haftet der Vermieter für den von dem Erwerber zu ersetzenden Schaden wie ein Bürge, der auf die Einrede der Vorausklage verzichtet hat. Erlangt der Mieter von dem Übergang des Eigentums durch Mitteilung des Vermieters Kenntnis, so wird der Vermieter von der Haftung befreit, wenn nicht der Mieter das Mietverhältnis zum ersten Termin kündigt, zu dem die Kündigung zulässig ist.

(2) Если покупатель не выполняет свои обязательства, арендодатель несет ответственность за ущерб, который должен быть возмещен покупателем, как поручитель, который отказался от защиты авансового действия. Если арендатору становится известно о передаче права собственности путем уведомления арендодателя, арендодатель освобождается от ответственности, если только арендатор не прекращает договор аренды в первый день, когда прекращение договора допустимо.

То есть - если новый хозяин без веской причины поднимает цену с скажем 500 евро до 800 в месяц, жилец вправе стребовать со старого хозяина эту разницу - 300 евро... всего то.