Можно/нужно ли Untermieter здесь прописаться?

Можно, и если унтермитер не попадает под исключения "закона о прописке" BMG §27 (2)/(3), то и нужно.Ну вернее это ему нужно, вам по большому счету пофиг.

В интернете прочитала, что арендодатель должен дать на это добро официальное. Арендодатель это я ведь? А разрешение от хозяина нужно тоже?

Не "добро", а подтверждение, что имярек отныне проживает в предоставленном жилище.

Это подтверждение должны дать вы, никаких разрешений от хозяина, кроме разрешения на унтермиту имяреку, не нужно.

Также пишут, что для Befristung нужно обязательно указать причину. Как можно написать про проект? Общими фразами "по работе" или нужны какие то подтверждения?

Да общих фраз достаточно, типи berufsbedingte Aufenthalt im Ausland für einen begrenzten Zeitraum или что-то типа того.

Насчет АБХ не в курсе.

Налоги платятся с разницы аренд. Входит ли в сумму моей аренды также оплата Strom, Internet и Rundfunkbeitrag?

Не совсем с разницы, разница аренд суммируется с вашим общим доходом, и потом уже вычисляется ставка.

И объясните, что вы имеете все-таки ввиду, "моей аренды" это то что сами платите, или что хотите получать в качестве платы?