Не очень поняла, как вы собираетесь прописываться, не получив ещё немецкий паспорт и документы ПП. Чтобы вас признали как ПП вы должны иметь прописку в другой стране, откуда ставили антраг,

а когда получите документы ПП, то у вас уже и направление в землю будет. Прописка в Германии большого значения не имеет и не помешает им направить вас в любую землю, если у вас нет на руках договора на квартиру.
Это спросят в первую очередь.

В Берлине сейчас квартиры очень дорогие, резко подскочили цены. Так что даже если пропишетесь в Берлине, это вам не поможет быстро найти квартиру, да ещё по социальным нормам. Квартиры тут не дают, их надо искать самому,
уговорить квартиросдатчика сдать ее именно вам, неработающей матери-одиночке и только потом идти в джобцентр спрашивать, согласятся ли они ее оплачивать. Если хотите попасть в Берлин, то ищите возможность снять заранее жильё , то есть получить на руки Mietvertrag на квартиру в пределах нормы, тогда и прописка не нужна будет, или сделайте с родственниками Untermietervertrag. Короче, вам нужна реальная квартира, а не фиктивная прописка.