Вариант 1. Переезд и детсад одновременно, для ребенка это новые вирусы, он их хватает, организм справляется, но слабо. А сейчас еще и зима, лучше становиться будет дольше. Сделать ничего нельзя, кроме сиропов и всякой бессмысленной гомеопатии, ждать.

Вариант 2. Слабая форма коклюша, он бывает в стертой форме, когда кашель есть, но не такой, как в роликах на ютьюбе, и заболевание неопасно. Сделать тоже ничего нельзя.

Вариант 3. аллергия на пыль/клещей/прочее. Можете, не дожидаясь анализов, почистить обивки диванов, убрать все мягкие игрушки и ковры, снять шторы минимум в детской... Белье прополоскать с "гигиеническим" ополаскивателем, чтобы исключить аллергию на порошок или обычный. Кошки-собаки-птички-рыбки в этой квартире до вас не жили? Если не поможет, рекомендации а-ля Комаровский я бы пока отменила, может, наоборот, от тепла (+23 - +25 в квартире) станет лучше.

Паразиты в легких и особенно золотистый стафилококк - типичные пост-советские диагнозы, которые раздают направо-налево, к реальной причине кашля они отношения не имеют.

Что еще можно, так это прививку от пневмококковой инфекции. Да, прямо на кашель, если нет других симптомов типа температуры, поноса, конъюктивита. Она в Германии делается младенцам, но в вашем случае может оказаться полезной.