То есть, несмотря на то, что муж сожитель не хотел "übernehmen", денег Джобцентр не дал ?

Нет не дал.

Получается, если Автор также в Дж.ц придёт, то её тоже обратно к мужу другу отправят? Типа, вот он пусть Вам квартиру и оплачивает ?

Нет не отправят, если просто сожитель то с него ничего не будут требовать, а вот если муж тут другое, с мужа будут требовать алименты, но назад не отправят. В случае ТС нужно сейчас искать квартиру и сбежать, сейчас она еще работает.

Потом придет в Джобцентр и встанет на Бургергелд, и на алименты на ребенка, все получит что положено по Социалрехт.

Есть в моей практике и такой случай , женщина съехала от мужа с двумя маленькими детьми, правда мы ей сначала квартиру нашли, потом она мужу сказала, за пару дней до переезда. Муж уволился с работы, что бы не платить алименты. Мы ей оформили,Kindesunterhalt Vorschuss, Kinderzuschlag und Wohngeld.

В случае моей подопечной( актуальной), как раз лучше было бы жить одной, отдельно, тогда все переняли бы и страховку , и квартплату и Бургергелд.