Но должна ли я бегать и забирать от туда детей?
Если я им скажу, что это не приват участок, если вас что то не устраивает говорите сами детям и договаривайтесь.
Я забирать детей не буду.

То что Вы пишете можно интерпретировать как-будто Вы во время прогулки не находитесь рядом с детьми. А Вы не боитесь, если Вы из принципа не будете "бегать и забирать", то Ваших детей могут обидеть хозяева батута? Выйдет например какая-нибудь асоциальная мамаша начнёт кричать и прогонять. Или старшие детки пинка дадут. Вы же не оставите детей одних бороться против соседей за место на площадке? Вы просто неудачно выразились?

В случае истерик или скандалов напишу жалобу фермитеру с просьбой освободить общий участок.

Считаю, что и без истерик и скандалов нужно поставить соседям на вид, что либо договариваться о совместном пользовании, либо вы поднимите вопрос у фермитера. Деньги и халява, как тут выше писали, не должны иметь значения, батут не стоит много, речь скорее о заграбастывании общественной территории в своё пользование. У нас, когда ребёнок был маленький, был именно такой случай. Девочка постарше, выбирала из гуляющих деток, кто будет с ней прыгать на батуте. "Сегодня ты, азавтра тебе нельзя, аможно во-о-от той девочке". Проблему решили таким образом, что приехал булдозер и снёс это дело за счёт владелцев батута.