а кто будет отвечать, если во время урагана трамплин унесет и повредит припарклванное авто, например?

Те, чьи батут. Это же очевидно!

Фермитер тут только с боку. Из вашей же ссылки: Wichtig zu wissen ist, dass der Mieter, der die Spielgeräte aufgestellt hat, grundsätzlich auch derjenige ist, der die Reparaturen bezahlen muss, wenn nach dem Abbau der Spielgeräte Schäden zurückbleiben. Auch bauliche Veränderungen muss der Vermieter auf seine Kosten wieder rückgängig machen. Was den Standort der Spielgeräte angeht, gilt, dass er so gewählt werden muss, dass der neue Spielplatz möglichst nicht zum Störfaktor für die anderen Mieter und die Grundstücksnachbarn wird. (с)

Да, согласие нужно брать - это, я бы сказала, хорошо.

Но у ТС возникает сразу же проблема, если она начнёт давить на отсутствие согласия. Новые соседи тут же скажут, что они не дают согласия на валяющиеся велосипеды, игрушки и тд в общем саду или площадке (что у них там?). Соседские войны самые разрушительные войны.

На месте ТС я бы просто запретила бы приближаться к батуту. И ВСЁ. Проблема-то в том, что ТС оскорбилась, что её детей не пускают на батут. ЭТО ею движет на самом деле, а не безопасность детей и тд. Она же их выпускает одних (трёхлетку под присмотром пятилетки! обалдеть). Ох, уж это

Родители могут стоять невдалеке

Могут - это значит, что вас и близко нет.