В его понимании контактировать им есть смысл когда ребенок попал в больницу, когда надо попросить егео поговорить с ребенком, после какой то выходки ...и тп.

Это правильно. А телефонные звонки с дочерью в то время, когда она у мамы, оговорены, и мама не против?

Надо ли к походу в ЮА подкрепить свои слова какими то доказательствами

Если идут совсем явные угрозы, в которых используется ребенок, фиксируйте дату и содержание.

. Ведь можно не пустить а потом ссылаться на то что не пустила в воспитательных целях-

Нет, нельзя. Никаких воспитательных целей, мать обязана обеспечить контакт ребенка с отцом.

Этак под требование совместного воспитания можно подвести все что угодно.

Да, это известная тактика, что либо изменить здесь тяжело.

том какие там у них установки.

А установка у них одна, ребенок не должен использоваться в конфликте между родителями.

Ну а у матери наверняка другой взгляд на всю эту историю, и она не замедлит его предъявить, Так что простой "постановки" матери на место не получится, а начнется война за счет ребенка.