Естественно продление пребывания жены это вариант. Сходите в АБХ, обясните ситуацию. С большой долей вероятности жену и детей оставят до окончания вашего ВНЖ.

С другой стороны оформление документов ребенку за месяц вполне можно успеть. Все зависит от того в порядке ли вaши с женой документы. Вам с женой могут понадобиться вaши свидетельства о рождении с апостилем и переводом. Позвоните в ЗАГС уже сейчас и узнайте какие документы родителей, нужны для получения СОР ребенку.

Если с документами родителей все в порядке - то проблем возникнуть не должно. Работники ЗАГСа ходят по роддому и оформляют документы еще в роддоме. Мы забрали готовый СОР ребенка на следующий день после выписки из роддома. Если вы из Хайдельберга то апостиль на СОР ребенка надо будет ставить в Карлсруэ. Туда можно из Хайдельберга просто съездить на поезде или машине (1 день) или по почте получить апостиль за 4-5 дней.

Перевод СОР ребенка можно делать самому или заранее договориться с переводчиком что-бы было очень быстро, на это тоже надо не больше 2-3х дней.

В консульстве во Франкфурте нужны 2 термина - к нотариусу и паспортистам. Напишите эмаил по вашей ситуации. Вам обязателъно ответят.
Паспорт на 5 лет ребенку сделают в день вашего обращения в консульство.

В течении месяца все это можно успеть даже без особой спешки.