Купить очень хорошие наушники...
он почему-то считает, что с кабелем звук лучше.
Это не так?
Ну считается что да, но вряд ли это имеет значение когда речь идет о езде не велосипеде итд. так как потеря в качестве звука не настолько велика, что бы это имело значение для спортивных наушников так сказать. Удобство от отсутствия провода - перевешивает разницу в качестве звука, на мой взгляд.
Большие но без дужки, это вряд ли удобно, особенно при активных движениях. Потому их и не много в продаже. Надо брать те что "в уши" и не морочить голову. 
Есть кстати для спорта вот такие даже, но я про них ничего не знаю AcousticSheep Stirnband »RB6GL-US Run Phones Wireless grau - Größe L (ab 66 cm Kopfumfang) - Stirnband mit integrierten Kopfhörer« online kaufen | OTTO
Если боится что обычные "в уши" могут потеряться, например при катании на велосипеде, то можно взять беспроводные но соединенные проводом между собой. У них и акку обычно лучше. Типа таких SONY WI-C200, In-ear Kopfhörer Bluetooth Schwarz Kopfhörer kaufen | SATURN