Занятия с носителем - это очень хорошо, вы молодец, если только есть возможность продолжайте. У меня когда-то со старшим ребенком была аналогичная ситуация с французским, ну ни в какую не хотелось ему зубрить правила и словарный запас, и катилось все тоже неминуемо к пятерке, но потом вот это общение вытянуло его и 3 за устную (!) шульауфгабе было огромным стимулом и пинком к лучшему.
По поводу тестов, остается только снова и снова и снова объяснять ребенку (и не ждать от него такого же понимания как от взрослого), что без выученного словарного запаса по конкретным главам учебника и правил оценку выше не получить. Может быть вам стоит попробовать вытянуть английский на четверку за год, какие у него там оценки за весь год, вы не спрашивали у учителя? На уроке очень важно поднимать руку, ну и если спросили, допустим тот же словарный запас, быть в состоянии правильно ответить. Эти маленькие правильные ответы играют свою роль, когда ученик стоит между оценок. Вот если ребенок сидит на уроке, глядя перед собой, и никогда не поднимает руку, то это однозначно в пограничных случаях толкуется в сторону худшей оценки.