Посмотрите ещё в ближайших университетах. Вы можете посещать где-то в одном месте курсы, а экзамен DSH писАть в другом.
Обратите внимание, что DSH можно сдавать только два раза и больше никогда.
А DaF - экзамен платный, но зато повторять его можно бесконечно.
Обязательно пойдите на интенсив туда, куда хотите поступать. У каждого вуза свои "заморочки" в этом экзамене. На интенсиве Вам расскажут важные детали.

Это не связано. В самой Fachschule спросите: когда нужно подавать документы и какие. Академическаю справка Вам нужна будет, конечно.
Если выбранная профессия в Германии совпадает с российской, то должны дать Вам Zulassung. Но Вам подавать, наверное, весной: на следующий осенний семестр.
Если только именно Ваша специальность не начинает в начале календарного года. Бывает такое, но тогда у Вас мало времени, чтобы подготовиться.
Из практики: за полгода со слабой начальной подготовкой люди смогли потом сдать этот экзамен.
Я когда подавала документы ни на что апостили не ставила. У меня был диплом.