http://rc.nsu.ru/distance/Physics/Archives/056.html
ВОПРОС: Какова связь между расстоянием до мгновенного центра вращения и радиусом кривизны траектории?
ОТВЕТ: Нахождение радиуса кривизны заданной траектории - чисто геометрическая задача: бесконечно малую окрестность любой точки любой кривой можно представить как участок дуги окружности (т.н. соприкасающейся окружности), радиус этой окружности и есть радиус кривизны кривой, а центр окружности - центр кривизны.
Подробнее в книгах:
Я.Б.Зельдович, И.М.Яглом "Высшая математика для начинающих физиков и техников", М., Наука, 1982, стр.228-231,
Г.Корн, Т.Корн "Справочник по математике", М., Наука, 1973, стр.518-523.
Радиус кривизны траектории связан с центростремительным ускорением тела, двигающегося по траектории, известным соотношением: a = v^2/r, где a - центростремительное ускорение тела, v - скорость тела, r - радиус кривизны траектории.
Понятие мгновенного центра вращения относится к движению твердого тела (не как материальной точки). При произвольном плоском движении тела (когда все точки тела движутся параллельно одной плоскости) в любой момент времени можно найти такую неподвижную точку О (она может лежать и вне объема тела), что движение тела (в данный момент) будет представлено как чистое вращение вокруг оси, проходящей через точку О. Эта ось называется мгновенной осью вращения тела. Словом "мгновенная" хотят подчеркнуть, что это понятие служит для описания распределения скоростей только в какой-то заданный момент времени. В отличие от неподвижной оси, сохраняющей свое положение в теле и в пространстве, мгновенная ось, вообще говоря, перемещается как в теле, так и в пространстве.
Подробнее в книге:
Д.В.Сивухин "Общий курс физики", т.1, М., Наука, 1989, параграфы 45,47.
Из определений ясно, что, вообще говоря, между расстоянием до мгновенного центра вращения и радиусом кривизны траектории никакой связи нет. Однако иногда эту связь можно найти. Идея заключается в том, что рассматриваемую геометрическую кривую представляют как траекторию какого-либо достаточно простого механического движения и исследуют это движение методами кинематики.
Например, циклоиду можно рассматривать как траекторию какой-либо точки обода колеса, которое катится без проскальзывания по прямой. Причем точка А описывает данную циклоиду независимо от того, катится ли колесо равномерно или с ускорением, важно только, чтобы оно не проскальзывало. Проще всего рассмотреть, разумеется, равномерное качение колеса. Такое качение получается в результате сложения равномерного вращения колеса вокруг оси и равномерного поступательного движения, линейная скорость которого v равна произведению угловой скорости на радиус колеса r.
Во всех инерциальных системах отсчета материальная точка имеет одно и то же ускорение. Поэтому находить его можно в любой такой системе отсчета. Ясно, что ускорение точек обода колеса связано только с его вращением вокруг оси. Поэтому ускорение а любой точки обода направлено по радиусу к центру колеса и определяется выражением a = v^2/r (1)
Значит, и в высшей точке циклоиды ускорение элемента обода колеса равно v^2/r и направлено вниз.
Теперь рассмотрим движение этой же точки обода как движение по циклоиде. Скорость в любой точке траектории направлена по касательной к ней; значит, в высшей точке циклоиды скорость направлена горизонтально. Ускорение же, как мы выяснили, направлено вертикально вниз, т. е. перпендикулярно скорости. Поэтому найденное выше ускорение может быть записано также в виде a = u^2/R (2)
где u - скорость точки обода в ее верхнем положении, а R - искомый радиус кривизны циклоиды.
Для нахождения u будем рассуждать следующим образом. Скорость любой точки обода катящегося колеса равна векторной сумме скорости поступательного движения колеса и линейной скорости вращения вокруг оси. При отсутствии проскальзывания эти скорости равны по модулю. В верхней точке они и направлены одинаково. Поэтому u = 2v, и, сравнивая формулы (1) и (2), находим R = 4r (3)
Радиус кривизны циклоиды в верхней точке равен удвоенному диаметру колеса. Если бы мы рассматривали качение колеса как вращение вокруг мгновенной оси, совпадающей в каждый момент с нижней неподвижной точкой колеса, то могло бы показаться, что верхняя точка движется по окружности, радиус которой равен диаметру колеса. Так оно и было бы, если бы мгновенная ось вращения О оставалась неподвижной. На самом деле эта ось перемещается вместе с колесом, и именно поэтому рассматриваемая точка обода А движется в этот момент по окружности, радиус которой дается формулой (3).
Источник:
Е.И.Бутиков, А.А.Быков, А.С.Кондратьев "Физика в примерах и задачах", М., Наука, 1989, стр.13-15.
|Пингуй, не пингуй, все равно получишь e-mail