То есть полного захвата власти Сталину удалось добиться ещё при живом Ленине?

Фактически - да. В 22-м году была учреждена должность Генерального Секретаря, должность на тот момент техническая, но с широкими полномочиями в том числе назначение низших партийных руководителей. Таким образом Сталин быстро расставил своих людей в партии. До конца жизни Сталин пробыл в этой должности.

Вот цитата из Вики: - "Провал попыток экспортировать революцию означал, что возникает необходимость создать стабильное государство и профессиональное чиновничество для управления этим государством. Подобная задача требовала людей совершенно иного типа, чем профессиональный революционер, большую часть сознательной жизни проведший в подполье. …

Соратники Ленина были неспособны руководить нормально функционирующим государством, иметь дело с ворохами всевозможной писанины, издавать инструкции разбросанным по всей стране партячейкам, назначать чиновников низшего уровня, — всё это казалось им невыносимо скучным. Сталин был единственным из числа крупных большевиков, у кого имелись и вкус и талант к подобной рутине. Это и стало решающим фактором его восхождения на вершину власти. … Советская бюрократия разрослась в таких неимоверных масштабах, потому что при коммунизме все без исключения, в чём участвовало двое или больше людей, должно было проходить под руководством партийных органов. Вся экономика страны, ранее находившаяся, главным образом, в частных руках, управлялась теперь из единого центра;"

"Завоевать мир верхом легко; трудно спешиться и управлять» - Чингисхан.