Преобразования (сокращения) Лоренца выводятся из инвариантности интервалаю Интервал-квадратичная форма из координат(как переменных) системы отсчета. В частном случае (для ортогональной системы координат) представляет из себя сумму квадратов координат, причем время входит со множителем с2(квадрат) как комплексная координата(квадрат которой будет со знаком минус). Физически означает
относительную неизменность пространственной точки (задаваемой текущими координатами) относительно положения наблюдателя через текущий момент времени. В общем случае интервал - свертка метрического тензора 2-го ранга с координатами (переменными). Причем эквивалентны обе формы - контравариантная и ковариантная в силу симметричности метрического тензора. Тот же вид преобразования Лоренца примут и при переходе от прямоугольной к любой ортогональной
системе координат (цилиндрическая, сферическая - условие: существование, грубо говоря, непрерывных производных 2-го порядка). Сигнатура же метрики определяется количеством комплексных координат, в нашем случае - -1, иногда сигнатура
обозначается как (+ + + -).Нетрудно заметить симметричность сигнатур, т.е., (+++ -) = (---+).
В ОТО все сложнее. В силу нелинейности самих координатных линий в формулу для интервала включаются антисимметричные символы Кристоффеля(похожие на тензоры, но не инвариантные). Кстати, у Эйнштейна есть большой вклад в формализацию тензорной записи интервалов и в тензорный анализ вообще. Им, в частности, введена операция сворачивания тензора по индексам (когда в записи верхние и нижние индексы имеют одинаковое обозначение).. Можно писать долго и еще.:-))