непонятно, к чему относилось Ваше "не совсем".

К тому, что само Консульство ничего не ставит, т.к. это даже запрещено конвенцией и её смыслом. Консульство не может подтвердить (легализовать) подпись должностного лица, выдавшего документ, ибо не является этим самым органом. Дубликаты СоРов выдает ЗАГС.

При этом на документах, выданных консульским учреждением (те же первичные СоРы, справки и т.п.) апостиль по той же самой конвенции не ставится, не предусмотрен.

очевидно, консульство РК (в отличие, кстати, от консульства РФ) оказывает услугу по проставлению апостиля на уже имеющийся документ.

ага, и для этого им надо аж 4 месяца? Очевидно же, что это обычное истребование. Правда, в случае Казахстана они видимо и принимают уже выданные документы от граждан и пересылают для проставления штампа в КЗ. В российских консульствах есть такая же услуга, но там ее делают исключительно "под ключ", на уже существующий документ апостиль не истребуют.