лично я бы не стал качать права у психиатра, рассказывая ему о незаконности его требований.

В Вашей гражданской смелости никто и не сомневался.

но на местах могут быть особенности, поэтому есть смысл позвонить.

Не стоит звонить "на места". Из последней ссылки:

• Если вы получаете справку в ПНД для ГИБДД, а врач-психиатр требует военный билет, поинтересуйтесь основанием для такого требования. Попросите сослаться на нормативно-правовой акт, в котором будет перечень документов, включающий документы воинского учета. Скорее всего, ничего конкретного вам не скажут, либо сошлются на старый приказ, утративший силу.

Помните, что ни предоставлять документы воинского учета, ни ходить в военкомат по вышеприведенному документу вы не обязаны.

Как показывает практика, если вы активно защищаете свои права, то "давить" на вас не будут и справку выдадут в тот же день. Вряд ли руководство хочет прокурорской проверки или судебного процесса

Этого вполне достаточно для борьбы с "перегибами на местах", если они каким-то чудом возникнут, что крайне маловероятно.