Спросила у свекрови конкретно за Registrierschrein и заставила хорошо поискать, и вот тебе, нашёлся документик.

И там у них есть про изменение имени?

по Вашему опыту можете сказать, или можем мы предъявлять этот Registrierschrein в консульстве, чтоб объяснить почему Personalausweis выдан на Schäfer

мне в свое время хватило просто приложить копии немецких документов, чтобы вместо корявой транслитерации получить нормальную немецкую фамилию

Тогда действовал немного другой регламент мИД, эти документы были в нем перечислены.

Сейчас список немного другой

12.9 Заявление об изменении написания в паспорте, оформляемом гражданину, в отношении которого подано заявление, его фамилии и (или) имени буквами латинского алфавита (приложение N 4 к Регламенту), с приложением одного из следующих подтверждающих документов, содержащих транслитерацию фамилии и (или) имени:

ранее выданного паспорта, либо паспорта, не содержащего электронныйноситель информации;

свидетельства о рождении;

свидетельства о перемене имени;

свидетельства о заключении (расторжении) брака, в котором указана присвоенная гражданину фамилия, или паспорта супруга, фамилию которого заявитель приобрел при заключении брака;
паспорта родителя или законного представителя несовершеннолетнего, фамилию которого ребенок носит;

вида на жительство, дающего гражданину право проживания в иностранном государстве

Не исключено, что от вас захотят апостиль.

Не знаю, ставят ли апостиль на регистриршайн

Можно попробовать просто приложить копии немецких документов на Schäfer.

Ну и на всякий случай напишите в bva в отдел ПП - спросите, ставят ли апостиль на РШ и если ставят, то где.

spaetaussiedler@bva.bund.de