Внутреннего паспорта у меня нет, я его не получал.

Это плохо, потому что без него, может статься, не выпишут. Попробовать можно, если по доверенности или с заявлением по почте, но гарантий, разумеется, никаких.

Могут ли поставить штамп о выписке (о снятии с регистрации) не во внутренний паспорт, а в заграничный?

Нет, в загранпаспорт такой штамп не ставится.

Срок действия заграничного паспорта у меня заканчивается в конце этого года.
Поменяют ли его мне тут без предоставления внутреннего паспорта?

Как повезет. Если в анкете укажете, что есть прописка, у Вас еще в консульстве с большой вероятностью потребуют предъявить действительный внутренний паспорт, а у Вас его нет. Если не укажете, что есть прописка, то в консульстве внутренний паспорт не потребуют, но отсутствие данных о внутреннем паспорте теоретически может вызвать вопросы при последующей проверке документов в России (если, конечно, они проверяют такие моменты, этого я не знаю). Может быть, не заметят, тогда загранпаспорт выдадут.
Если бы Вы успели каким-то образом выписаться до подачи документов на новый загранпаспорт, то загранпаспорт можно было бы получить без проблем (но надо очень внимательно следить за тем, чтобы обязательно сдать документы на новый загранпаспорт, пока еще действует старый).