н.п.

вроде много раз уже обсуждали, доверенность (да еще и нотариально заверенная) часто не нужна, если ребенок следует с законными представителем(оба не обязательны).

для того что бы сильно не задерживали на границе с расспросами, достаточна, как уже написали, копия паспорта второго родителя и номер телефона с предложением: я такой-то, отец/мать такого-то ребенка, согласен с путешествием ребенка с матерью/отцом в такую-то страну. и роспись, желательно как на копии паспорта

если ребенок едет не с законными представителями (бабушка, дедушка, тетя, дядя - таковыми не являются (обычно)) то нужно согласие законных представителей. например вот такая

http://www.flotwedel.de/fileadmin/user_upload/Formulare/Me...

это, что касается границы со стороны Германии. предъявлять бумаженцию только если спросят, сразу подавать не стоит.

что касается пересечения границ других стран(а пересекая границу Германии обычно пересекают также границу другой страны) смотрите что об этом говорят законы этих стран.

в помощь вот еще пару ссылок:

http://www.auswaertiges-amt.de/DE/Infoservice/FAQ/Reisehin...

https://www.adac.de/infotestrat/ratgeber-verkehr/verkehrsr...