К тому же по Вашей ссылке Франкфурт описывает ситацию с вклейкой в паспорт, но не с пластиковой картой, так что мало ли что они решат при приёме документов:

Во Франкфурте для ВНЖ в любом виде правила одинаковые: оригинал + обычный ксерокс + заверенный консульским нотариусом перевод

Я на сайте консульства заполнил заявление о постановке на учёт, но никакого значимого результата, кроме того, что моей Web-заявке присвоили номер, и того, что сама заявка теперь у меня есть в распечатанном виде - нет.

Может мне надо эту распечатанную заявку подписать и почтой в консультсво отправить? Или можно просто непосредственно в день подачи документов (на выход из гражданства РФ) стать на учёт?

Именно во Франкфурте - на кого попадете при приеме. Есть там одна девушка, которая вообще принимает документы без документов о КУ.

Остальные обычно хотят видеть либо штамп о КУ (почти ни у кого уже нет), либо справку о КУ (оригинал + ксерокопию), получением которой лучше озаботиться заранее. Подпишите эту свою заявку с номером, отправьте в консульство с конвертом и просьбой прислать Вам бумагу, подтверждающую постановку на КУ. Ответ приходит по почте достаточно быстро (не знаю, как сейчас из-за праздников, но обычно требуется меньше 2х недель).

Если уже не успеваете получить такую справку, езжайте так, прихватив с собой эту распечатку с номером. Принимающий документы Вам или выдаст Вам прямо сразу справку о КУ, или примет эту распечатку в качестве подтверждения постановки на КУ.