Да, пограничники как сотрудники правоохранительных органов (а пограничная служба является структурным подразделением ФСБ) могут в своей работе выявлять преступления в том числе по статьям, не относящимся по подследственности к ФСБ. НО по таким статьям они не могут проводить дознание и следственные мероприятия. То есть, выявив преступление по этой, вновь вводимой статье они обязаны передать нарушителя по подследственности в соответствии со ст.151 УПК РФ в СКР. То есть пограничник может проверить документы, спросить вас, проверить по базам данных, но не может завести дело или провести дознание. На основании выявленных признаков он должен будет передать нарушителя в СКР.
Что касается проверки по различным базам данных, в т.ч. ФМС, то да, пограничник имеет право в своей работе взаимодействовать с органами исполнительной власти и их территориальными органами, получая от них те или иные данные.
Вопрос только в технической и организационной реализации. Будет ли с АРМ пограничника открыт доступ к БД лиц, подавших уведомление и будет ли этот пограничник мотивирован на выявление подобных преступлений. Это, безусловно, покажет практика, но все юридические и организационные средства на реализацию подобных мероприятий у пограничников есть.