При том, что ЗУ "Про охорону дитинства" гарантирует права не только "детей украинских граждан". Почитайте текст закона, узнаете.

Во-первых: "лицо без гражданства" это правовой статус, который тоже надо оформлять. И тоже по заявлению физического лица.
Закон, по которому лица без гражданства определялись так же, как это делаете Вы, т.е. физические лица проживающие на территории Украины, не граждане Украины и не иностранцы, просто "вважалися" лицами без гражданства и их документирование никак не регламентировалось, уже 12 лет как утратил силу.
Во-вторых: Вы ошибаетесь, причисляя детей проживающих в Украине к нелегалам. Ими они смогут стать в Украине не раньше марта 2017 года. Если, конечно, к тому времени найдутся на территории Украины лица, желающие быть и оставаться никак не документированными.
В-третьих: "Посвідка", как "на тимчасове проживання", так и "на постійне проживання" в Украине выдается иностранцам и лицам без гражданства, которые достигли 16-ти летнего возраста. Дети младше 16-ти лет в таких "посвідках" не нуждаются. Хотя, в исключительных случаях, им они тоже могут быть оформлены и выданы.