После рождения ребёнка вы отправляете документы в ЗАГС, там они оформляются и вам выдаётся свидетельство о рождении. Они же отправляют запрос в ауслендерамт с просьбой проверки получит ли ваш ребёнок немецкое гражданство. По истечении опр.времени ауслендерамт отправляет ответ опять таки в ЗАГС и уже те решают оканчательно. Наличие пмж родителя - не является автоматическим правом на гражданство ребёнка по рождению.
По поводу разрешения на вывоз. Да, нужно. С немецкой стороны это разрешение выглядит, как согласие отца на выдачу ребёнку райзепасса, с российской в письменно согласии. Инфа на сайте консульства/посольства
Данные ребёнка в свидетельстве о рождении заносятся в зависимости от выбранного законодательства. Там есть пункт с вопросом - по какому законодательству вы хотите записать ребёнка?(что-то в этом роде) И указано - немецкое. Так вот, выбрав этот пункт, ваш ребёнок будет записан по немецким законам в СОР, а не по русским, с И.О. и , если женского пола с соответствующим окончанием. Чтобы записать ребёнка со всеми русскими правилами надо указывать какое законодательство вы выбираете. Ну а это влечёт дополнительные разбирательства амтов. Это уже другая тема.