ноутбук диагностика
Это начало конца, так что пока еще включается, "сливайте" все ценное с него, на внешнюю фестплату например. Хотя, даже если перестанет включаться, потом можно будет фестплату вынуть и подключить кабелем к другому компу, но все же проще, пока работает ноут. 
По симптомам, похоже на проблемы с платой питания, высохшие или вздутые конденсаторы на ней итп.
Конечно, можно отремонтировать при желании, но стоит ли оно того, при таком возрасте? Сейчас за 350 евро можно взять новый, который будет не хуже старика по всем параметрам.
Батарейку БИОСа на ноуте сменить не так просто, как на стационарном компе. Разборка может понадобиться достаточно "глубокая", так сказать. Справитесь?
Основная батарея вряд ли виновата, ибо ноут даже без батареи должен включаться, если к розетке подсоединен.