Thunderbird - отображение количества непрочитанных писем
Есть настройка, какую цифру показывать на бэджике иконки - количество новых или непрочитанных сообщений. По умолчанию стоит новых. Переключите на непрочитанные.
В англоязычном вариате это Tools->Preferences->General->Incoming Mails->App Icon Options
С выходом из сна не уверен, что это вообще возможно. IMHO программы не в курсе, что система спала и проснулась.
Я бы просто поставил интервал проверки новой почты достаточно коротким (у меня установлено 10 мин). За время сна он наверняка пройдет и в течение короткого времени по пробуждении почта будет проверена.
Это Tools->Accout Settings->Server settings
Еще там же есть опция об уведомлениях со стороны сервера о приходе новой почты. Полезная, если ваш сервер это поддерживает. Она включена по умолчанию, но проверьте.