Пользуюсь Thunderbird.
Один почтовый адрес, на ноутбуке (Thunderbird) - POP, в мобильном (другой почтовый клиент) IMAP.
После обновления (thunderbird на ноутбуке) не приходит почта на на ноутбук, на мобильный получаю.
1. В мобильном пропала папка удалённые и письма не стираются.
2. Комп письма не получает.

Так?

Похоже две независимые проблемы.

1. По первой я бы зашел на сервер через webmail (если он там есть; если нет - с PC через Thunderbird, настроенный использовать IMAP) и посмотрел, на месте ли та папка, куда складываются удаленные письма. Если ее нет - создал заново. Попробовал удалять письма там и убедился бы, что работает, письма из Inbox перемещаются в Удаленные. Потом проверить настройку IMAP folders в клиенте на телефоне. Там среди прочего прописывается имя папки куда перемещать удаляемые письма. Поставить так, как на сервере.

2. Настроить в Thunderbird IMAP - проверить имя сервера, порты, шифрование, свое имя и пароль.