У вас серьезная проблема - вы плохо представляете себе, что такое операционная система и зачем она нужна. Вам накидали здесь очень много правильных слов и мнений и вам сейчас нужно решать, что делать дальше.

Нет. На компе без системы ничего делать нельзя. Система - это прокладка между пользовательскими прогами и железом компа. Скайп - пользовательская прога и без системы ее не существует.
У вас есть 2 выхода - вернуть комп без системы и заказать с системой или немного разобраться в этом зоопарке.
Если вы решите разбираться...
Систем в принципе не так и много, много разновидностей. В вашем случае нужно выбрать из того, что доступно и это или Виндовс или Линукс.
Виндовс привычнее использовать, но его нужно или покупать или на этом сайте дальнейшее обсуждение несколько нелегально. В просессе нелегальной установки, если вы на это решитесь, вам придется ознакомится с обходом систем защиты или скачивать взломанную версию. Поскольку совсем суровой необходимости в Виндовсе нет, то я рекомендую Линукс. Нужно только выбрать какой-то вариант из моря доступных и бесплатных. И что особенно приятно, если один вариант у вас не пойдет, то вы всегда можете попробовать другой - все бесплатно и небольно.
Я лично использую SUSE. Скачивается образ диска, прожигается диск, диск засовывается в комп и как правило через полчаса вы сможете печатать тексты.
ru.opensuse.org/%D0%94%D0%BE%D0%B1%D1%80%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B6%D0%B0%D...
http://software.opensuse.org/131/de