Он загружается потом, после того как все это пишет или нет?
Если ГРУЗИТСЯ - сохраняйте как обычно на флешку, на внешний жесткий диск, на CD - на что вам привычнее. На другой компьютер по сети (особенно если раньше этого не делали) - это самый мучительный вариант, не связывайтесь с ним.
Если машина НЕ ГРУЗИТСЯ - у вас два варианта:
Загрузить операционную систему прямо на вашем компьютере с загрузочного СD и из под нее скопировать данные с вашего внутренного диска на флешку.
Либо вынуть из нее жесткий диск (если напишете точную модель ноута - вам подскажут как именно снять диск) и подключить к другому компьютеру.
Покупать ничего не нужно. (Сейчас вам наверняка посоветуют купить универсальный USB кабель для подключения жестких дисков )
Если считаете сами не справитесь - попросите кого-нибудь поблизости.
Кстати у некоторых HP (опять нужно точное название модели) два отсека для жестких дисков - если так - можно сразу старый диск переставить вторым, установить новый и на нем установит ОС, потом скопировать со старого что удастся. Если только диск с плохим SMART не помешает загрузке - не знаю как поведет себя BIOS HP :)
Та диагностика, что вы написали к сожалению ничего не дает.
Народ имел ввиду, что хорошо бы при работающей операционной системе запустить утилиту чтения атрибутов SMART напр. HDtune и запостить сюда вот эти значения:

IMHO большого смысла в этом нет, диск наверняка все-рано менять, цена ему - полтиник, а свои данные ближе к телу. Можете подарить умирающий диск знакомому компьютерному любителю, если будете кого-то просить помочь.