То что шеф написал...

Или вот так........
Каждая арифметика обладает свойствами, из которых наиболее существенны степенные:
Как хорошо известно каждому школьнику, этими свойствами обладают натуральные числа.
Но интересно, когда элементы арифметики отличаются от 'коллекций единиц'. Таких арифметик полно - на любой вкус!

(A+B)+C = A+(B+C), A+B = B+A
(AxB)xC = Ax(BxC), AxB = BxA,
(A+B)xC = AxB+AxC
CA+B = CA . CB
(CA)B = CA.B = (CB)A


Как хорошо известно каждому логику, этими свойствами обладает каждая логика, со степенями в виде импликаций:
Приятно, когда вычисление AxBA->AxB вырождается в тождество
A=>(B+C) = A=>B.A=>C
A=>(B.C) = (A=>B)=>C = (A=>C)=>B.
'modus ponents' Ax(A=>B) = AxB

Циклическую группу C2 2-го порядка проще всего, видимо, представляет сложение натуральных чисел по модулю 2. Каждое C2-множество X имеет вид:
Ниже мы убедимся, что однозначно строятся степени:
X = x1 + x2C2
C2C2 = 2C2 = 2 + C2

Приведённые примеры арифметик, отличных от натуральной, отличаются своими целочисленными Hom - формами:
(X,Y) интерпретируется как число отображений из X в Y.
Для логик (решёток) -
Для C2-множеств -
Hom(_,_) или просто (_,_):AxA -> Nat
(X,Y) = 0 или 1
(Y,X) = X1Y1(X1+2X2)Y2

Каждый объект X арифметики вполне характеризуется тройкой сопряжённых:
(_)xX ╛ (X,_) ╛ (_)X

Тавтологичность сопряжения, характерная для линейных пространтв, возможна для одного единственного объекта - 1, для которого тройка сопряжённых вырождается в пару:
(_)x1 ╛ (1,_) ╛ (_)1

Группа вращений тетраэдра A4 порядка 12, содержит 5 орбит, образующих базис. Так что каждое A4-множество X имеет вид:
Более того, для каждого A4-множества X разрешима система:
X = ∑xiUi i=1,...,5

1 0 0 0 0 M1 ( 1 ,X)
1 3 0 0 0 M3 (U3,X)
1 0 1 0 0 M4 = (U4,X)
1 3 0 2 0 M6 (U6,X)
1 3 4 6 12 M12 (A4,X)

(Y,X) = П(Ui,X)∑(Ui,Uk)'(Uk,Y)

Чтобы убедиться в справедливости этой громоздкой на вид формулы, полезно установить целочисленное тождество 'типа Ферма' для всякого натурального N
а затем обращая Hom-матрицу, получить коэффициенты NA4 = ∑MiUi:
N12- 3N6- 4N4+ 2N3+ 4N = 0 (mod 12)
(с)