Разумеется! (Если только он не переоформляет авто у Вас на глазах)
Причем по закону!
Причем немедленно!
Причем не абы как - а по установленной форме. Veräußerungsanzeige mit Empfangsbestätigung (- 27 Abs. 3 StVZO)
И там должны быть и имя и адрес и покупателя (и продавца) и очень желательно, чтобы был указан номер паспорта покупателя и номер кузова машины. И точное время передачи авто! И отметка о получении доков покупаталем.
mit Empfangsbestätigung - значит, что этот документ должен быть подписан и покупателем тоже!
А если адрес неправильный (Вы записали его со слов) проблемы будут у Вас! Без ксерокопии паспорта покупателя отдавать на номерах v риск. Впрочем учитывая,что Вы вообще за руль никого не имеете права пускать, пока не убедитесь, что у него годные права для этого типа машины - ксерьте паспорт (обе стороны) сразу вместе с его правами.
Только в случае немедленной отправки Veräußerungsanzeige mit Empfangsbestätigung nach - 27 Abs. 3 StVZO c Вас снимется ответственность за автомобиль, если покупатель не переоформил его сам. Именно с момента ее получения Вы перестаете платить налог.
Обратная сторона медали - если Вы сообщили всем кому положено и как положено (страховке тоже) то Вам, как правило, ничего не грозит.
А то тут есть форумные шутники


Договора может и не быть (письменной форме). А даже если он есть - то его все-равно НЕТ. Для государства. Ибо много хитрецов, "залетев", пишут задним числом договор "на Мустафу из Молвании" и пытаются потом доказать что они ни при делах. От договора может еще быть польза, если хотя бы там есть проверенные (!!!!) данные покупателя. Иначе он пустая бумажка .
Договор нужен Вам для Ваших разборок с покупаталем (скручен не скручен, царапина, резина). Чиновников он не интересует. Гос-во (налоги, штрафы, ДТП и т.п) интересует Veräußerungsanzeige.
Об ошибках оформления и их последствиях можно прочесть в ADAC, например.
http://www.adac.de/Recht_und_Rat/fahrzeugkauf_leasing/gebrauchtwagenkauf/fehlend...
Тут кстати и об иностранцах что-то написано.