Я установила новые тормозные детали, новый тюф, новая зимние колеса, заправка системы охлаждения воздуха внутри машины
К сожалению всё это относится к verschleißteile. Зимнюю резину конечно можно попробовать забрать, но остальное можно забыть.

Вы машину отдали, ключи итд. тоже. Счёт для перевода и срок, 15.11.2010 тоже продавцу известен. Если Вы не согласны с суммой то никакой подписи.
Но..
Продавец хочет за 10000 км 1000 EUR. Как я уже написал что вариант 8000км и 800 EUR можно легко добиться. Тахо в этом случае не врёт. Тоесть продавец здесь сразу сдаст.
Зимнюю резину, почти новую, Вы тоже можете (возможно) забрать. Но под вопросом?
Итого, я вижу только 800.
Разница с приемлимыми Вами 500 составляет 300 EUR.
... Мда.
Страховки нет. Расходы на адвоката выльются тоже примерно в эту сумму, а скорее всего выше. Надежды на то что суд (если до того дойдёт) присудит Вам победу я расцениваю 50/50. Или того хуже.
Мой вывод.
Укажите продавцу что пробег был 8000 и тем самым сбейте Ваш"долг" до 800.
Попробуйте забрать зимнюю резину.
Пожалуй всё.
Почему?

Вы должны это сначала доказать. Так сказать это легко. Но доказать... невозможно.

Не совсем так. Если дойдёт до дела то продавец предоставит суду бумаги где будут отражены все его расходы по устранению проблем на этой машине. Это будет огромная сумма которая будет превышать весь его плюс с продажи этой машины в разы. При 7-ми ремонтах и 80 EUR/Stunde это Ваше утверждение будет выглядеть очень бледно.
Посему мой совет который вверху красным.