Наверно все-таки правильнее зарегистрироваться на новом месте жительства, вот пункты из Правил регистрации РФ:

12. Органы регистрационного учета в 3-дневный срок со дня поступления документов регистрируют в установленном порядке граждан по месту пребывания в жилых помещениях, не являющихся их местом жительства, и выдают им свидетельство о регистрации по месту пребывания.
15.Регистрация граждан по месту пребывания осуществляется без их снятия с регистрационного учета по месту жительства.
24.Граждане, не имеющие регистрации по месту жительства, регистрируются по месту пребывания в порядке, установленном настоящими Правилами.(см.12)
31.Снятие гражданина с регистрационного учета по месту жительства производится органами регистрационного учета в случае:
а) изменения места жительства - на основании заявления гражданина о регистрации по новому месту жительства. При этом орган регистрационного учета, осуществляющий регистрацию граждан по новому месту жительства, обязан в 3-дневный срок со дня регистрации направить соответствующее уведомление в орган регистрационного учета по последнему месту жительства гражданина для снятия его с регистрационного учета;
Иначе консульство на новом месте жительства вероятно не примет документы, поскольку отметка ( которую оно требует) о снятии с регистрационного учета по месту жительства не будет соответствовать новому консульскому округу.
Форумчане, был ли у кого-нибудь такой случай?